Question

13．如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，过点B（6，0），E（0，-6）的直线上有一点P，满足∠PCA=135°
（1）求证：四边形ACPB是平行四边形；
（2）求点P的坐标及线段PB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出A与C的坐标，得到OA=OC，进而确定出三角形AOC为等腰直角三角形，得到∠CAO=45°，由已知角度数，得到一对同旁内角互补，得到AB与CP平行，同理得到AC与BP平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由平行四边形的对边相等得到AB=PC，PB=AC，根据OA+OB求出AB的长，确定出PC的长，确定出P的坐标；在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即为PB的长．

解答 解：（1）∵直线y=x+3与x轴的交点为A（-3，0），与y轴交点为C（0，3），
∴OA=OC，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，
∵∠PCA=135°，
∴∠CAO+∠PCA=180°，
∴AB∥CP，
同理由E（0，-6），B（6，0）得到∠CAO=∠ABE=45°，
∴AC∥BP，
则四边形ACPB为平行四边形；
（2）∵OC=3，OA=3，OB=6，四边形ACPB为平行四边形，
∴PC=AB=9，PB=AC，
∴P（9，3），
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则BP=AC=3$\sqrt{2}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．