Question

19．已知如图，抛物线与y轴交于A（0，-2），与x轴交于B（-2，0），C（2，0），直线y=x与抛物线交于点D，点P在直线y=x上运动．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）当点P的横坐标为$\sqrt{2}$，试求∠APB的度数；
（3）是否存在点P，使得以A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在说明理由；
（4）当∠APB的度数为135°，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得OB=OC=OP=2，从而求得∠APO=$∠BPO=\frac{45°}{2}$，即可求得∠APB=45°；
（3）求得PD∥AC，使得以A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形，则AC=PD=2$\sqrt{2}$，过P作PG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，通过三角形相似对应边成比例即可求得；
（4）先证得△AOB是等腰直角三角形，证得OE垂直平分AB，进而证得PB是∠ABO的平分线得出PE=PF，设PF=PE=OF=x，在RT△OPF中，根据勾股定理即可求得；

解答 解；（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线与y轴交于A（0，-2），与x轴交于B（-2，0），C（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a-2b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}}\\{y=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{5}}\\{y=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴D（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）；
（2）如图1，把点P的横坐标为$\sqrt{2}$代入y=x得，y=x=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OP=$\sqrt{2×（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∵OB=OC=2，
∴OB=OC=OP=2，
∵∠POC=45°，
∴∠POA=90°+45°=135°，
∴∠APO=（180°-135°）×$\frac{1}{2}$=$\frac{45°}{2}$，
∴$∠BPO=\frac{45°}{2}$，
∴∠APB=45°；
（3）存在；
∵A（0，-2），C（2，0），
∴直线AC的解析式为y=x-2，
∴与直线y=x平行，
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PD=2$\sqrt{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}}\\{y=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{5}}\\{y=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴D（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）
∴OD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，
∴OP=OD-PD=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$或OP=OD+PD=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
过P作PG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，
∴PG∥DH，
∴△POG∽△DOH，
∴$\frac{OG}{OP}$=$\frac{OH}{OD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{OG}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{OG}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得OG=$\sqrt{5}$-1或$\sqrt{5}$+3，
∴P的横坐标为$\sqrt{5}$-1或$\sqrt{5}$+3，
∵P的是直线y=x上的点，横坐标和纵坐标相等，
∴P的坐标为（$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1）或（$\sqrt{5}$+3，$\sqrt{5}$+3）；
（4）如图2，∵B（-2，0），C（2，0），
∴OB=OC=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵点P是直线y=x上的点，
∴∠POB=∠POA，
∴OE⊥AB，BE=AE，
∴PB=PA，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠APB=135°，
∴∠PAB=∠PBA=22.5°
∴BP是∠ABO的平分线，
作PF⊥x轴于F，
∴PF=PE，
设PF=PE=OF=x，
∵OE垂直平分AB，∠AOB=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\sqrt{2}$-x，
在RT△OPF中，OP²=PF²+OF²，
即（$\sqrt{2}$-x）²=x²+x²．
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=-2-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P（-2+$\sqrt{2}$，-2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，角的平分线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．