Question

10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE等于2．

Answer 1

分析 如图作BF⊥DC交DC的延长线于F．由△AEB≌△CBF，推出BE=BF，推出四边形BFDE是正方形，由S_△ABE=S_△BFC，推出四边形ABCD的面积=正方形BFDE的面积，即BE²=4，即可解决问题．

解答 解：如图作BF⊥DC交DC的延长线于F．

∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠F=∠DEB=∠D=90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴∠EBF=90°
∵∠EBC+∠ABE=90°，∠EBC+∠CBF=90°，
∴∠CBF=∠ABE，
在△AEB和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBF}\\{∠AEB=∠F=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CBF，
∴BE=BF，
∴四边形BFDE是正方形，
∵S_△ABE=S_△BFC，
∴四边形ABCD的面积=正方形BFDE的面积，
∴BE²=4，
∵BE＞0，
∴BE=2．
故答案为2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．