Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，∠ABE＝∠ACB，若AE＝2，则OE的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

注意到∠ABE＝ACB，于是作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．设BE与AC的交点为G．推出△CBG与△AGE均为等腰三角形，设矩形的宽为x，然后表示出BC和AC的长度，由勾股定理列方程解出x，接下来利用∠ADB的正弦值和余弦值求出EF和OF，EF的长度，OE的长度也就可以算出来了．

解：如图，作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．设BE与AC的交点为G．

则∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD

∴∠ABE+∠CBH＝90°，

∴∠ABE＝∠BCH，

∵∠ABE＝∠ACB，

∴∠BCH＝∠GCH，

∴BH＝GH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，

设AB＝x，则ED＝CD＝AB＝x，

∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，

∴CG＝CB＝2+x，

∵AD∥BC，

∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，

∴AG＝AE＝2，

∴AC＝AG+CG＝4+x，

在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，

∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），

∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，

∵AC与BD交于点O，

∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，

∵sin∠BDA＝＝＝，cos∠BDA＝＝＝，

∴EF＝ED＝，DF＝ED＝

∴OF＝OD﹣DF＝5﹣＝

在Rt△EFO中：

OE2＝OF2+EF2＝（）2+（）2＝＝13，

∴OE＝．

故答案为：