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【题目】如图,AB、AC分别是O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦DEAB分别交O于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.

(1)求证:PC是O的切线;

(2)若点D是劣弧AC的中点,OH=1,AH=2,求弦AC的长.

【答案】(1)证明见解析;

(2)AC=4

析】

试题分析:(1)根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质,证得PCF+AC0=90°,即OCPC,即可证得结论;

(2)先根据勾股定理求出DH,再通过证明OGA≌△OHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的长.

试题解析:(1)连接OC,OA=OC,∴∠ACO=OAC,PC=PF,

∴∠PCF=PFC,DEAB∴∠OAC+AFH=90°,

∵∠PDF=AFH,

∴∠PFC+OAC=90°,

∴∠PCF+AC0=90°,

即OCPC,

PC是O的切线;

(2)连接OD交AC于G.

OH=1,AH=2,

OA=3,即可得OD=3,

DH===2

点D在劣弧AC中点位置,ACDO,∴∠OGA=OHD=90°,

OGA和OHD中,

∴△OGA≌△OHD(AAS),

AG=DH,

AC=4

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