Question

8．如图所示，已知A（0.2，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y=$\frac{1}{x}$ 图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）

• A． （0.5，0）
• B． （1，0）
• C． （1.5，0）
• D． （2.5，0）

Answer 1

分析 先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A点坐标为（0.2，5），B点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），再利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{4}$，然后根据三角形三边的关系得到|PA-PB|≤AB，当点P为直线AB与x轴的交点时，取等号，则线段AP与线段BP之差达到最大，然后确定直线y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{4}$与x轴的交点坐标即可．

解答 解：把A（0.2，y₁），B（2，y₂）代入y=$\frac{1}{x}$ 得y₁=5，y₂=$\frac{1}{2}$，则A点坐标为（0.2，5），B点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0.2，5），B（2，$\frac{1}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5=0.2k+b}\\{\frac{1}{2}=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
因为|PA-PB|≤AB，
所以当点P为直线AB与x轴的交点时，线段AP与线段BP之差达到最大，
把y=0代入y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{11}{2}$，得0=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{11}{2}$解得x=$\frac{11}{5}$，
所以P点坐标为（$\frac{11}{5}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．