Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（O，4），B（6，0）．若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，分别交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k₂x+b
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）请结合图象直接写出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0的解集；
（3）y轴上是否存在点p使得△POE的面积恰好等于△EOF的面积？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性质求出C点坐标，再利用线段中点坐标公式即可得A（3，2），再把A点坐标代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）可求出k₁=6，从而得到反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出E点和F点坐标，再利用待定系数法求直线EF的解析式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可；
（3）先利用反比例函数k的几何意义得到S_△OED=S_△OBF=3，再计算出CE=$\frac{9}{2}$，FC=3，接着根据三角形面积公式计算出S_△CEF=$\frac{27}{4}$，则利用面积的和差得到S_△OEF=$\frac{45}{4}$，设P点坐标为（0，m），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{3}{2}$=$\frac{45}{4}$，解得m=±15，从而可得P点坐标．

解答 解：（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵线段OC的中点A的坐标为（3，2），
把A（3，2）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）得k₁=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
当y=4时，$\frac{6}{x}$=4，解得x=$\frac{3}{2}$，则E（$\frac{3}{2}$，4），
当x=6时，y=$\frac{6}{x}$=1，则F（6，1）；
把E（$\frac{3}{2}$，4），F（6，1）分别代入y=k₂x+b得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{k}_{2}+b=4}\\{6{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+5；
（2）$\frac{3}{2}$＜x＜6；
（3）存在．
∵点E，F都在反比例函数图象上，
∴S_△OED=S_△OBF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵E（$\frac{3}{2}$，4），F（6，1），
∴CE=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，FC=3，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$，
∴S_△OEF=4×6-3-3-$\frac{27}{4}$=$\frac{45}{4}$，
设P点坐标为（0，m），
∴$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{3}{2}$=$\frac{45}{4}$，解得m=±15，
∴满足条件的P点坐标为（0，15）或（0．-15）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．