Question

4．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点P的坐标为（-$\sqrt{3}$，-1）
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点M，使S_△MOA=2S_△AOP，则M点的坐标为M₁（-$\sqrt{3}$+3，2），M₂（-$\sqrt{3}$-3，2）．
（3）在抛物线上是否存在点Q（异于P点），使△QAO与△AOP相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（-$\sqrt{3}$，-1）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2$\sqrt{3}$，代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）分情况讨论：①点Q与点B重合可直接得出点Q的坐标；②点Q不与点B重合，先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q₁OA的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q₁的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q₂的坐标．

解答 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（-$\sqrt{3}$，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-\sqrt{3}}\\{3a-\sqrt{3}b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
故函数解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）；

（2）∵S_△MOA=2S_△AOP，
∴点M到OA的距离是点p到OA距离的2倍，即点M的纵坐标为2，
代入函数解析式得：2=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
解得：x₁=-$\sqrt{3}$+3，x₂=-$\sqrt{3}$-3，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：M₁（-$\sqrt{3}$+3，2），M₂（-$\sqrt{3}$-3，2）．

（3）存在．
①当点Q与点B重合时，满足△AQO与△AOB相似，
此时点Q的坐标为（-$\sqrt{3}$，-1）；

②当点Q与点B不重合时，
过点P作PC⊥OA，则tan∠COP=$\frac{CP}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故可得∠BOA=30°，
设Q₁坐标为（-x，$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x），过点Q₁作Q₁F⊥x轴，
∵△OAP∽△OQ₁A，
∴∠Q₁OA=30°，
故可得OF=$\sqrt{3}$Q₁F，即x=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x），
解得：x=-3$\sqrt{3}$或x=0（舍去），
经检验得此时OA=AQ₁，△OQ₁A是等腰三角形，且和△OpA相似．
即可得Q₁坐标为（-3$\sqrt{3}$，3），
根据函数的对称性可得Q₂坐标为（$\sqrt{3}$，3）．
∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（-3$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，3）．

点评 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．