Question

11．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n•PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；
（2）作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；
（3）作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠CEP}\\{∠ADP=∠ECP}\\{DP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP；
（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，
则$\frac{PI}{CE}$=$\frac{DP}{DC}$，又点P是CD的中点，
∴$\frac{PI}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∵△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴$\frac{KP}{KB}$=$\frac{PI}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BP=3PK，
∴n=3；
（3）如图2，作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=$\sqrt{3}$，
则AP=$\sqrt{7}$，
根据三角形面积公式，BM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
由（2）得，PB=3PO，
∴OG=$\frac{1}{3}$BM=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，
MG=$\frac{2}{3}$MP=$\frac{2}{7}\sqrt{7}$，
tan∠MOG=$\frac{MG}{OG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠MOG=60°，
∴∠MON的度数为120°．

点评 本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用．