【题目】如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由;
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x(1≤x≤4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.
【答案】(1)四位“和谐数”:1221,1331,1111,6666…(答案不唯一),能;(2)y=2x(1≤x≤4,x为自然数).
【解析】
试题分析:(1)根据“和谐数”的定义(把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同)写出四个“和谐数”,设任意四位“和谐数”形式为:,根据和谐数的定义得到a=d,b=c,则=为正整数,易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除;
(2)设能被11整除的三位“和谐数”为:,则,故为正整数.故y=2x(1≤x≤4,x为自然数).
试题解析:(1)四位“和谐数”:1221,1331,1111,6666…(答案不唯一),任意一个四位“和谐数”都能被11整除,理由如下:设任意四位“和谐数”形式为:,则满足:最高位到个位排列:d,c,b,a ,个位到最高位排列:a,b,c,d.由题意,可得两组数据相同,则:a=d,b=c,则=为正整数.
∴四位“和谐数”能被11整数,又∵a,b,c,d为任意自然数,∴任意四位“和谐数”都可以被11整除;
(2)设能被11整除的三位“和谐数”为:,则满足:个位到最高位排列:x,y,z.最高位到个位排列:z,y,x.由题意,两组数据相同,则:x=z,故,故为正整数.故y=2x(1≤x≤4,x为自然数).
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
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【题目】某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产1件A种产品需甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产1件B种产品需甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.设生产A、B两种产品可获总利润是y元,其中A种产品的生产件数是x.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)符合题意的生产方案有几种?请你帮忙设计出来;
(3)如何安排A、B两种产品的生产件数,使总利润y有最大值,并求出y的最大值.
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【题目】一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.
(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;
(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.
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【题目】平行四边形ABCD中,对角线AC=12,BD=8,交点为点O,则边AB的取值范围为( )
A.1<AB<2
B.2<AB<10
C.4<AB<10
D.4<AB<20
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【题目】一副三角板的三个内角分别是90°,45°,45°和90°,60°,30°,按如图所示叠放在一起,若固定三角形AOB,改变三角形ACD的位置(其中点A位置始终不变),可以摆成不同的位置,使两块三角板至少有一组边平行.设∠BAD=α(0°<α<180°)
(1)如图2中,请你探索当α为多少时,CD∥OB,并说明理由;
(2)如图3中,当α=时,AD∥OB;
(3)在点A位置始终不变的情况下,你还能摆成几种不同的位置,使两块三角板中至少有一组边平行,请直接写出符合要求的α的度数.
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【题目】某商场试销一种新款衬衫,一周内销售情况如下表所示:
型号(厘米) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
数量(件) | 25 | 30 | 36 | 50 | 28 | 8 |
商场经理要了解哪种型号最畅销,则上述数据的统计量中,对商场经理来说最有意义的是( )
A.平均数 B.众数C.中位数D.方差
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【题目】某种商品的进价为100元,出售时标价为150元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润不低于20%,则最多可打( )
A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折
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