Question

13．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y=kx-（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 易知直线y=kx-3k+4过定点D（1，-1），运用勾股定理可求出OD，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题

解答 解：∵直线y=kx-（k+1）可化为y=（x-1）k-1，
∴此直线恒过点（1，-1）．
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵OH=1，DH=1，OD=$\sqrt{{OH}^{2}+{DH}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵OB=2，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（1，-1）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该此题的关键．