Question

14．已知实数a，b满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，求（$\frac{b}{a}$）²⁰¹⁰-（$\frac{a}{b}$）²⁰¹¹的值．

Answer 1

分析 根据$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，通过变形可以得到a与b的关系，从而可以求得（$\frac{b}{a}$）²⁰¹⁰-（$\frac{a}{b}$）²⁰¹¹的值．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=\frac{4}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴（a²+b²）²=4a²b²，
∴（a²-b²）²=0，
得a=±b，
当a=b时，原式=1²⁰¹⁰-1²⁰¹¹=1-1=0，
当a=-b时，原式=（-1）²⁰¹⁰-（-1）²⁰¹¹
=1-（-1）=2．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．