Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBD=∠CAF，从而得到△BCD和△AGD相似，根据相似三角形对应边成比例求出AD=AG，过点B作BH⊥CD于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH、AC的长，然后根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解．

∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△FEC，

∴BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF（为旋转角），

∵∠CBD=（180°-∠BCE），∠CAF=（180°-∠ACF），

∴∠CBD=∠CAF，

又∵∠BDC=∠ADG，

∴△BCD∽△AGD，

∴=，

∵BC=BD，

∴AG=AD，

则CD=2CH，

∵sin∠BAC=，BC=2，

∴==，

即==，

解得CH=，AC=6，

∴CD=2×=，

AD=AC-CD=6-=，

∴AG=AD=.

故答案为：