Question

11．在锐角△ABC中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）点E是AB中点，点P是边AC上的动点，点P₁是点P的对应点，求线段EP₁最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据旋转的性质得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，则根据等腰三角形的性质得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，所以∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）如图2（a），过点B作BD⊥AC，D为垂足，则点D在线段AC上，在Rt△BCD中，利用正弦定义可计算出BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，则BP与AC垂直，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；如图2（b），当△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=7．

解答 解：（1）如图1，

∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁，点C₁在线段CA的延长线上，
∴∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）如图2（a），

过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
当P在AC上运动，BP与AC垂直，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
如图2（b），当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=2+5=7．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．