Question

1．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明：BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；
（3）设BE=x，△CEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式（不写出自变量x取值范围）．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ACF，得到答案；
（2）根据割补法求面积的思想解答；
（3）根据△ABE≌△ACF，得到BE=CF，求出△CEF边CF的高，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
（3）解：由（1）得△ABE≌△ACF，
∴BE=CF=x，
则EC=4-x，
∴△CEF边CF的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
y=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查的是菱形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数解析式的求法，掌握菱形的四条边相等和等边三角形的性质是解题的关键．