Question

18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE=CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为2$\sqrt{5}$-2cm．
②线段DH长度的最大值为2$\sqrt{5}$+2cm．

Answer 1

分析 （1）①根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△ABE≌△DAF，得到∠ABE=∠DAF，根据垂直的定义证明即可；
②根据90°的圆周角所对的弦是直径画出点H运动路径，根据弧长公式求出点H运动的路径长；
（2）①根据勾股定理求出PD，根据点与圆的最小距离求出DH长度的最小值；
②与①类似，求出DH长度的最大值．

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，又DE=CF，
∴AE=DF，
 在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，又∠BAH+∠DAF=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴AF⊥BE；
②∵∠AHB=90°，
∴点H运动路径是以AB为直径的圆的一部分，如图1所示：
∴点H运动的路径长为：$\frac{90π×2}{180}$=π；
（2）①设AB的中点为P，连接PD，当点H在PD设时，DH最小，
由题意得，AP=2，AD=4，
由勾股定理得，PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则DH长度的最小值为：2$\sqrt{5}$-2，
故答案为：2$\sqrt{5}$-2cm；
②由①可知，DH长度的最大值为2$\sqrt{5}$+2，
故答案为：2$\sqrt{5}$+2cm．

点评 本题考查的是正方形的性质、轨迹问题、最大值和最小值的确定，掌握正方形的性质、圆的概念是解题的关键．