Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B与∠C的角平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于M，N，连接AO．
（1）证明：△BOC是等腰三角形．
（2）BM与CN相等吗？对你的结论说明理由．
（3）证明：AO⊥MN．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质得到∠OBC=∠OCB，即可得到答案．
（2）根据角平分线的定义可得∠MBO=∠CBO，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO=∠MOB，从而得到∠MBO=∠MOB，即可得证；
（3）先由AB=AC得出∠ABC=∠ACB，再根据BN、CN分别平分∠ABC，∠ACB得出∠OBC=∠OCB，故△ABO≌△ACO，所以MO=NO，再由AB=AC即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠B与∠C的角平分线交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形；

（2）解：BM=CN，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AB-AM=AC-AN，
即BM=CN；

（3）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BN、CN分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△ABO≌△ACO，
∴MO=NO．
∵AB=AC，
∴AO⊥MN．

点评：本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．