Question

如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程x²-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求点C的坐标；
（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）利用因式分解法解方程即可得到OA=12，OB=5；
（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，由OC²=CD•CB，∠OCD=∠BCO，根据相似三角形的判定方法即可得到△COD∽△CBO，则∠2=∠1，而根据圆周角定理有∠1=∠3，所以∠2=∠3，得到弧AC=弧OC，根据垂径定理得MC⊥OA，OF=AF=

1

2

OA=6，然后根据圆周角定理由∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则在Rt△AOB中，根据勾股定理可计算出AB=13，得到MC=

13

2

，易得MF=

1

2

OB=

5

2

，则FC=MC-MF=4，于是得到C点坐标为（6，-4）；
（3）连接AC，连接CM并延长交OA于F，如图2，若CA=CO，则∠COA=∠CAO，根据邻补角的定义得∠COA+∠COD=180°，根据圆内接四边形的性质得∠CAO+∠CBO=180°，则∠COD=∠CBO，加上∠OCD=∠DCO，根据相似的判定方法即可得到△CBO∽△COD；由CA=CO得弧CA=弧CO，根据垂径定理得CF⊥AC，由（2）得MF=

5

2

，CM=

13

2

，OF=6，则CF=CM+MF=9，于是得到C点坐标为（6，9）．

解答：解：（1）∵（x-12）（x-5）=0，
∴x₁=12，x₂=5，
∴OA=12，OB=5；
（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，
∵OC²=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，
而∠OCD=∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠2=∠1，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴弧AC=弧OC，
∴MC⊥OA，
∴OF=AF=

1

2

OA=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，
∴AB=

OB2+OA2

=13，
∴MC=

13

2

，
∵MF为△AOB的中位线，
∴MF=

1

2

OB=

5

2

，
∴FC=MC-MF=4，
∴C点坐标为（6，-4）；
（3）存在．
连接AC，连接CM并延长交OA于F，如图2，
若CA=CO，则∠COA=∠CAO，
∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，
∴∠COD=∠CBO，
而∠OCD=∠DCO，
∴△CBO∽△COD，
∵CA=CO，
∴弧CA=弧CO，
∴CF⊥AC，
由（2）得MF=

5

2

，CM=

13

2

，OF=6，
∴CF=CM+MF=9，
∴C点坐标为（6，9）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质和三角形相似的判定与性质；会解一元二次方程和利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质．