Question

9．如图，在平面直角坐标系中，含30°锐角的三角板的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm，OB=6cm．点C′是第二象限内不与点C重合的一个点，且以A、B、C′为顶点的三角形与△ABC相似（相似比不为1），则点C′的坐标为（-6$\sqrt{3}$，24）、（-2$\sqrt{3}$，12）、（-12$\sqrt{3}$，18）和（-8$\sqrt{3}$，6）．

Answer 1

分析 依照题意画出图形，分四种不同情况，结合相似三角形的性质利用解直角三角形找出点C′的坐标，此题得解．

解答 解：依照题意画出图形，如图所示．
∵AB=12cm，OB=6cm，
∴sin∠BAO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，OA=6$\sqrt{3}$．
①当AB为较短的直角边且∠ABC₁′为直角时，BC₁′=AB•tan∠BAC₁′=12$\sqrt{3}$，
在Rt△BC₁′D中，∠BDC₁′=90°，∠C₁′BD=30°，BC₁′=12$\sqrt{3}$，
∴C₁′D=6$\sqrt{3}$，BD=18，
∴OD=24，点C₁′的坐标为（-6$\sqrt{3}$，24）；
②当AB为较长的直角边且∠ABC₂′为直角时，BC₂′=AB•tan∠BAC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△BC₂′E中，∠BEC₂′=90°，∠C₂′BE=30°，BC₂′=4$\sqrt{3}$，
∴C₂′E=2$\sqrt{3}$，BE=6，
∴OE=12，点C₂′的坐标为（-2$\sqrt{3}$，12）；
③当AB为较短的直角边且∠BAC₃′为直角时，AC₃′=AB÷tan∠BC₃′A=12$\sqrt{3}$，
在Rt△AC₃′F中，∠AFC₃′=90°，∠C₃′AF=60°，AC₃′=12$\sqrt{3}$，
∴C₃′F=18，AF=6$\sqrt{3}$，
∴OF=12$\sqrt{3}$，点C₃′的坐标为（-12$\sqrt{3}$，18）；
④当AB为较长的直角边且∠BAC₄′为直角时，AC₄′=AB÷tan∠BC₄′A=4$\sqrt{3}$，
在Rt△AC₄′M中，∠AMC₄′=90°，∠C₄′AM=60°，AC₄′=4$\sqrt{3}$，
∴C₄′M=6，AM=2$\sqrt{3}$，
∴OM=8$\sqrt{3}$，点C₄′的坐标为（-8$\sqrt{3}$，6）．
综上可知：点C′的坐标可以为（-6$\sqrt{3}$，24）、（-2$\sqrt{3}$，12）、（-12$\sqrt{3}$，18）和（-8$\sqrt{3}$，6）．
故答案为：（-6$\sqrt{3}$，24）、（-2$\sqrt{3}$，12）、（-12$\sqrt{3}$，18）和（-8$\sqrt{3}$，6）．

点评 本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．