Question

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为________．

Answer 1

分析：先由相似三角形的判定定理证明△BEP∽△BCA；再根据相似三角形的对应边成比例得出=；最后在直角三角形中的勾股定理列出一元二次方程，求二次函数的最值．
解答：法一：设EC=y，FC=x．
∵∠C=90°，PE⊥BC，PF⊥CA，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EP=FC=x；
∵AC=1，BC=2，
∴BE=2-y，
∵∠C=90°，PE⊥BC，
∴PE∥AC，
∴∠BPE=∠A，
又∵∠B=∠B，
∴=，即y=2（1-x）；
∵EF²=x²+y²
∴EF²=5（x-）²+（0＜x＜1），
∴当x=时，EF_最小值==．
法二：连接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=，
∴PC的最小值为：=．
∴线段EF长的最小值为．
点评：本题主要考查的是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值，是综合性较强的一道题．