Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC= ，AD= ，CD=12，过AB的中点E作AB的垂线交BC的延长线于F．
（1）求BF的长；
（2）如图2，以点C为原点，建立平面直角坐标系，请通过计算判断，过E点的反比例函数图象与直线AB是否还有另一个交点？

Answer 1

【答案】
（1）解：作AG⊥BC于G，则AG=CD=12，BG=BC﹣AD=9，

在Rt△ABG中，AB= =15，

∴BE= AB= ．

∵∠ABG=∠FBE，∠AGB=∠FEB，

∴△ABG∽△FBE，

∴ = ，

得BF= =

（2）解：作EH⊥BC于H，则EH=6，

∴CH=6，

点E的坐标是（﹣6，6），

点B的坐标是（﹣ ，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

解得： ，

∴直线AB的解析式为y= x+14．

设反比例函数的解析式为y= ，

将E点坐标代入得，k1=﹣36．

∴过E点的反比例函数解析式为y=﹣ ．

由﹣ = x+14，

解得：x1=﹣6，x2=﹣ ．

∴过E点的反比例函数图象与直线AB还有另一个交点

【解析】（1）作AG⊥BC于G，在直角△AG中利用勾股定理求得AB的长，然后证明△ABG∽△FBE，利用相似三角形的性质求解；（2）作EH⊥BC于H，求得直线AB的解析式，然后解反比例函数和一次函数的解析式组成的方程组求解．
【考点精析】本题主要考查了直角梯形和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．