Question

如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m），连接OB．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）过A点作AE⊥x轴于E，如图，
在Rt△OAE中，tan∠AOC==，
设AE=a，则OE=3a，
OA===a，
而OA=，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（3，1），
把A（3，1）代入y₂=，得k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y₂=；
把B（-，m）代入y₂=得-m=3，
解得m=-2，
∴B点坐标为（-，-2），
把A（3，1）、B（-，-2）代入y₁=ax+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y₁=x-1；

（2）∵对于y₁=x-1，令x=0，则y=-1，
∴D点坐标为（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=×1×+×1×3=．
分析：（1）作AE⊥x轴于E，根据正切的定义有tan∠AOC==，可设AE=a，则OE=3a，利用勾股定理计算出OA=a，而OA=，则a=1，得到A点坐标为（3，1），然后把A（3，1）代入y₂=，求出k=1×3=3，从而确定反比例函数的解析式；把B（-，m）代入y₂=得到m=-2，确定B点坐标为（-，-2），再把A（3，1）、B（-，-2）代入y₁=ax+b得到k、b的方程组，解方程组得到k与b的值，于是可确定一次函数的解析式；
（2）对于y₁=x-1，令x=0，则y=-1，得到D点坐标为（0，-1），然后利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA进行计算即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求函数的解析式；运用三角函数的定义和勾股定理计算线段的长度．