Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其顶点在直线上.

（1）求的值;

（2）求两点的坐标;

（3）以为一组邻边作，则点关于轴的对称点是否在该抛物线上?

请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

【解析】分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．

详解：（1）抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，

∴抛物线顶点坐标为：（1，﹣+a）

∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上

则将顶点坐标代入y=﹣2x得

﹣+a=﹣2，∴a=﹣；

（2）由（1）写出抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣

∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A、B，

∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，

∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣

∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，DE=，

∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC ∴△AOC≌△BDE

∴AO=BE=1， OE=OB-BE=2

∴D点的坐标为：（2，），

则点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），

代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，

∴D′点在函数图象上．