Question

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

①求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
②判断△ABC的形状，证明你的结论；
③点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer 1

①，顶点D；②直角三角形；③

试题分析：①把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式即可求得抛物线的解析式，从而得到抛物线的顶点坐标；
②由可得，，即可得到，从而可得△是直角三角形；
③ 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小，设抛物线的对称轴交x轴于点E，证得∽，再根据相似三角形的性质即可求得结果.
①把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式
整理后解得，
所以抛物线的解析式为 
顶点D；
②∵          
  
    
∴  
∴△是直角三角形；
③ 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小
设抛物线的对称轴交x轴于点E，
∽
∴
∴，
∴．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意.