Question

【题目】如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余

∴∠BCD=∠BAC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∴∠ACO=∠BCD

（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，

CE= CD= ×24=12cm，

在Rt△CEO中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122

解得R=13，∴2R=2×13=26cm．

答：⊙O的直径为26cm．

【解析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．