Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DE并延长线于G．
（1）求证：BD=CG；
（2）若CE=1，CG=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，OB，EO，FO，
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴DO⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，EO=FO，BD=BE，
∴四边形EOFC是正方形，
∴EO=FO=EC=FC，
∴DO=EC，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠BDE+∠ODE=90°，∠ODE+∠DOB=90°，
∴∠BDE=∠DOB，
∴∠GEC=∠BOD，
∵在△BOD和△GEC中，
，
∴△BOD≌△GEC（ASA），
∴BD=CG；

（2）解：由（1）可得出：EC=FC=1，
CG=BD=BE=2，
∴BC=3，设AD=AF=x，
则3²+（x+1） ²=（x+2） ²，
解得：x=3．
故AD的长为：3．
分析：（1）首先利用切线的性质证明四边形EOFC是正方形，进而得出∠GEC=∠BOD，再由ASA得出△BOD≌△GEC，即可得出BD=CG；
（2）利用切线长定理得出BE=DB，EC=FC，再由勾股定理求出AD的长即可．
点评：此题主要考查了切线的性质定理以及正方形的判定和勾股定理等知识，根据已知得出∠GEC=∠BOD，以及BD=EC是解题关键．