已知.如图①.∠MON=60°.点A.B为射线OM.ON上的动点.且AB=.在∠MON的内部.△AOB的外部有一点P.且AP=BP.∠APB=120°. (1)求AP的长,(2)求证:点P在∠MON的平分线上,(3)如图②.点C.D.E.F分别是四边形AOBP的边AO.OB.BP.PA的中点.连接CD.DE.EF.FC.OP. ①当AB⊥OP时.请直接写出四边形CDEF的周长,②若四边形CDEF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=

，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.

（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

（1）4；（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；（3）①8+4

；②4+4

＜t≤8+4

试题分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q，先根据等腰三角形的性质求得AQ的长，∠APQ的度数，在Rt△APQ中，根据∠APQ的正弦函数即可求得结果；
（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；
（3）根据三角形的中位线定理即可求得结果.
（1）过点P作PQ⊥AB于点Q
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4

，
∴AQ=

AB=

×4

，∠APQ=

∠APB=

×120°=60°
在Rt△APQ中，sin∠APQ=

∴AP=

＝4
（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T

∴∠OSP=∠OTP=90°
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上；
（3）①8+4

②4+4

＜t≤8+4

.
点评：解答本题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，同时熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

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