Question

5．若方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{9y}^{2}=1}\\{x-3y=k}\end{array}\right.$有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 先把方程组转化成二元一次方程，根据根的判别式得出△≥0，求出不等式的解集即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+9{y}^{2}=1①}\\{x-3y=k②}\end{array}\right.$
由②得：x=k+3y，③
把③代入②得：（k+3y）²+（k+3y）y+9y²=1，
即21y²+7ky+k²-1=0，
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{9y}^{2}=1}\\{x-3y=k}\end{array}\right.$有实数解，
∴△=（7k）²-4×21×（k²-1）≥0，
解得：-$\frac{2\sqrt{15}}{2}$≤k≤$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
即实数k的取值范围是-$\frac{2\sqrt{15}}{2}$≤k≤$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了高次方程，根的判别式的应用，能得出不等式是解此题的关键．