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【题目】如图1,已知AB为⊙O的直径,点C为 的中点,点D在 上,连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E.
(1)求证:∠C+∠CBD=∠CBA;
(2)如图2,过点C作CD的垂线,分别与AD,AB,⊙O相交于点F、G、H,求证:AF=BD;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接BF,若BF=BC,△CEF的面积等于3,求FG的长.

【答案】
(1)证明:连接AC,

在⊙O中,∵C为 的中点,

=

∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB,

= =

∴∠DCB=∠DAB,∠CBD=∠CAD,

∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA


(2)证明:连接AC.

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB,

∵CD⊥CH,

∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB,

∴∠ACF=∠DCB,

=

∴AC=BC,

在△ACF和△BCD中,

∴△ACF≌△BCD,

∴AF=BD


(3)解:作BM⊥CH于M,AK⊥CH于K.

∴∠ACK+∠CAK=90°,∠AKC=∠BMC=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACK+∠KCB=90°,

∴∠CAK=∠KCB,∵AC=BC,

∴△ACK≌△CNM,

∴AK=CM,

∵CB=BF,BM⊥CF,

∴CM=FM=AK,

∵△ACF≌△BCD,

∴CF=CD,

∵∠FCD=90°,

∴∠CFD=∠CDF=45°=∠AFK,

∴△AFK是等腰直角三角形,

∴AK=FK=FM=CM,

在Rt△AKC中,tan∠CAK= =3,作EN⊥CH于N,

在Rt△NCE中,∵∠HCB=∠CAK,

∴tan∠NCE= =3,设CN=m,EN=3m=NF,

∴SCEF= CFEN= ×(m+3m)×3m=3,

∴m=

∴CF=4m=2

∴CM=FM=FK=AK=

∴AF=2,

=

∴∠DCB=∠DAB=∠ACK,

过G作GQ⊥AF于Q,

在Rt△AQG中,tan∠FAB= = ,设QG=x,AQ=3x,FQ=x,

∴4x=2,

∴x=

∴FG= x=


【解析】(1)连接AC.由 = ,推出∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB,由 = = ,推出∠DCB=∠DAB,∠CBD=∠CAD,推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA.(2)只要证明△ACF△BCD,即可推出AF=BD.(3)由△ACK≌△CNM,推出AK=CM,由△ACF≌△BCD,推出CF=CD,△AFK是等腰直角三角形,推出AK=FK=FM=CM,在Rt△AKC中,tan∠CAK= =3,作EN⊥CH于N,在Rt△NCE中,由∠HCB=∠CAK,推出tan∠NCE= =3,设CN=m,EN=3m=NF,由SCEF= CFEN= ×(m+3m)×3m,推出m= ,推出CF=4m=2 ,推出CM=FM=FK=AK= ,AF=2,由 = ,推出∠DCB=∠DAB=∠ACK,过G作GQ⊥AF于Q,在Rt△AQG中,tan∠FAB= = ,设QG=x,AQ=3x,FQ=x,可得4x=2,得x= ,再根据FG= QG即可解决问题.

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第1个

第2个

第3个

第4个

第n个

调整前的单价x(元)

x1

x2=6

x3=72

x4

xn

调整后的单价y(元)

y1

y2=4

y3=59

y4

yn

已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为 ,猜想 的关系式,并写出推导过程.

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(1)这次被调查的学生共有人,在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).

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①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④SDAC:SABC=1:3.

A.1
B.2
C.3
D.4

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(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?

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A.
B.
C.
D.

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