Question

5．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是弧AB上的一个动点，（不与点A、B重合），OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D、E．
（1）当点C是弧AB中点时（如图①），求线段OD的长度；
（2）观察图②，点C在弧AB上运动，△DOE的边、角有哪些保持不变？求出不变的量；
（3）设OD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出OD，根据勾股定理求出OD即可；
（2）过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得出D、E分别是AC、BC中点，根据三角形中位线求出即可，
（3）作出△DOE的边OE上的高DG，利用三角函数求出DG，即可．

解答 g解：（1）如图①，连接OC，

∵点C是弧AB中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OD⊥AC，OA=OC，
∴∠ADO=90°，∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴OD=OA×cos∠AOD=2×cos30°=$\sqrt{3}$．/
（2）存在，DE是不变的，∠DOE也是不变的，
理由是：如图②，连接AB，OC，

过点O作AB的垂线，则AF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴OM平分∠AOB与弧AB，在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OA=2，
∴AF=$\sqrt{3}$，OF=1，
∴AB=2AF=2$\sqrt{3}$，
由垂径定理可知，点D、E分别是AC和CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
∵OD⊥AC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OE⊥BC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．
（3）如图3，
过点D作DG⊥OE于G，
∴∠OGD=90°
由（2）有，点C在弧AB上运动，∠DOE始终不变，∠DOE=60°，
在Rt△OGD中，OD=2，∠DOE=60°，
∴EG=OD×sin∠DOE=x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴y=S_△DOE=$\frac{1}{2}$OD×DG=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
当点C和点A重合时，x最大，最大的x=OD=OA=2，
当点C和点B重合时如图②，x最小，最小的x=OD=OF=1，
∴x的取值范围为1＜x＜2．
即：y关于x的函数关系式为$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$（1＜x＜2）．

点评 本题考查了三角形中位线，垂径定理，勾股定理的应用，三角形的面积，函数的自变量的取值范围的确定，题目是一道比较典型的题目，难度适中，解本题的关键是确定出△DOE中的不变量．