Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与坐标轴分别交于点A、点B、点C,并且∠ACB=90,AB=10.

(1)求证:△OAC∽△OCB;

(2)求该抛物线的解析式；

(3)若点P是(2)中抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P使得△PAC为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y=-;(3)（3，4+），（3，4-），（3，0）.

【解析】试题分析：（1）根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到得到解方程组即可得到结论；
（3）设，根据两点间的距离得到 ①当 时，②当 时，③当时，解方程即可得到结论．

试题解析：(1)

∴∠CAO=∠BCO，

∴△OAC∽△OCB；

(2)∵在中，当x=0，y=4，

∴OC=4，

∵△OAC∽△OCB，

∴,

∴OB=2或OB=8，

∴A(2,0),B(8,0)，

将上述坐标代入得

解得

∴所求作的解析式为:

(3)存在,∵

∴抛物线的对称轴为：直线x=3，

∴设P(3,n)，

∵A(2,0),C(0,4)，

∵△PAC为等腰三角形，

①当AC=AP时,即

此方程无实数根，这种情况不存在；

②当AC=CP时,即

解得：

③当AP=CP时,即

解得：n=0，

∴P , .