Question

12．如图，A是反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上一点，以OA为斜边作等腰直角△ABO，将△ABO绕点O以逆时针旋转135°，得到△A₁B₁O，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B₁，则k的值是-2．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥y轴于点E，过点B₁作BF⊥y轴于点F，则可证明△OB₁F∽△OAE，设A（m，n），B₁（a，b），根据三角形相似和等腰三角形的性质求得m=$\sqrt{2}$b．n=-$\sqrt{2}$a，再由反比例函数k的几何意义，可得出k的值．

解答 解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点B₁作BF⊥y轴于点F，
∵等腰直角△ABO绕点O以逆时针旋转135°，
∴∠AOB₁=90°，
∴∠OB₁F=∠AOE，
∵∠OFB₁=AEF=90°，
∴△OB₁F∽△OAE，
∴$\frac{{B}_{1}F}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{O{B}_{1}}{OA}$，
设A（m，n），B₁（a，b），
∵在等腰直角三角形OAB中，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OB=OB₁，
∴$\frac{-a}{n}$=$\frac{b}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=$\sqrt{2}$b．n=-$\sqrt{2}$a，
∵A是反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上一点，
∴mn=4，
∴-$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=4，解得ab=-2．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B₁，
∴k=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了反比例函数k的几何意义及旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数k的几何意义是本题的关键．