Question

（1）阅读合作学习内容，解答其中的问题；

合作学习 如图所示，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数 的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下列问题： ①该反比例函数的解析式是什么？ ②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？

（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：阅读型

分析：（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，即可得到反比例函数解析式；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；
（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F不在反比例函数y=

6

x

的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即

AE

AF

=

OD

DE

=

3

2

，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3-2t），利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3-2t）=6，解得t的值，则AE=3t=

5

2

，于是得到相似比．

解答：解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，
而OD=3，DE=2，
∴E点坐标为（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

（x＞0）；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），
∴F点坐标为（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=

6

x

得（2+a）（3-a）=6，解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴F点坐标为（3，2）；
（2）①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，
∴A点坐标为（5，3），
∴F点坐标为（3，3），
而3×3=9≠6，
∴F点不在反比例函数y=

6

x

的图象上，
∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，
∴AE：OD=AF：DE，
∴

AE

AF

=

OD

DE

=

3

2

，
设AE=3t，则AF=2t，
∴A点坐标为（2+3t，3），
∴F点坐标为（2+3t，3-2t），
把F（2+3t，3-2t）代入y=

6

x

得（2+3t）（3-2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=

5

6

，
∴AE=3t=

5

2

，
∴相似比=

AE

OD

=

5 2

3

=

5

6

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．