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已知,等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,且BP=4,点E、F分别在边AB、AC上,且∠EPF=60°,设BE=x,CF=y.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)①若四边形AEPF的面积为时,求x的值.
②四边形AEPF的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由.

(1) , x的取值范围是;(2) ①4,②存在,x=2,.

解析试题分析:(1)求出△BEP∽△CPF,得出比例式,代入求出即可;
(2)①过A作AD⊥BC于D,过E作EN⊥BC于N,过F作FM⊥BC于M,求出AD=3,EN=x,CF=y=,FM=,根据S四边形AEPF=S△ABC-S△BEP-S△CFP得出方程,求出x即可;
②四边形AEPF的面积存在最大值,把9-x-化成--2+5,即可得出答案.
试题解析:(1)∵∠EPF=60°
∴∠BPE+∠CPF=120°
∵∠B=60°∴∠BPE+∠BEP=120°
∴∠BEP=∠CPF又∵∠B=∠C=60°
∴△BEP∽△CPF


, x的取值范围是.
(2)①过A作AD⊥BC于D,
过E作EN⊥BC于N,过F作FM⊥BC于M

∵∠B=60°,AB=6,BE=x
∴AD=sin60°×6=, EN=sin60°×x=x
∵∠C=60°,CF=∴FM=sin60°×

.
∴x2-5x+4=0 
∴x1=1(舍去),x2=4




∴当,即x=2时,四边形AEPF的面积存在最大值,最大值是.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.一元二次方程的应用;3.二次函数的最值;4.等边三角形的性质.

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如图1,在等腰△ABC中,底边BC=8,高AD=2,一动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BC向右运动,到达D点停止;另一动点P从距离B点1个单位的位置出发,以相同的速度沿BC向右运动,到达DC中点停止;已知P、Q同时出发,以PQ为边作正方形PQMN,使正方形PQMN和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当点N落在AB边上时,t的值为   ,当点N落在AC边上时,t的值为   
(2)设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S,求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围;
(3)(本小题选做题,做对得5分,但全卷不超过150分)
如图2,分别取AB、AC的中点E、F,连接ED、FD,当点P、Q开始运动时,点G从BE中点出发,以每秒 个单位的速度沿折线BE-ED-DF向F点运动,到达F点停止运动.请问在点P的整个运动过程中,点G可能与PN边的中点重合吗?如果可能,请直接写出t的值或取值范围;若不可能,请说明理由.

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已知:二次函数中的满足下表:


……

0
1
2
3
……

……
0




……
(1)求的值;
(2)根据上表求时的的取值范围;
(3)若两点都在该函数图象上,且,试比较的大小.

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函数y =ax²(a≠0)与直线y =2x-3的图像交于点(1,b).
求:(1)a和b的值;
(2)求抛物线y =ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标。

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如图,二次函数y=ax2+2ax+b的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C(0,),其顶点在直线y=-2x上.
(1)求a,b的值;
(2)写出当-2≤x≤2时,二次函数y的取值范围;
(3)以AC、CB为一组邻边作□ACBD,则点D关于x轴的对称点D’是否在该二次函数的图象上?请说明理由.

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如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”,已知点C的坐标为(0,-),点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限内是否存在一点P,使得∆PBC的面积最大?若存在,求出∆PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当∆BDM为直角三角形时,请直接写出m的值.(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点间的距离为MN=.

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学习了函数的知识后,数学活动小组到文具店调研一种进价为每支2元的活动笔的销售情况。调查后发现,每支定价3元,每天能卖出100支,而且每支定价每下降0.1元,其销售量将增加10支。但是物价局规定,该活动笔每支的销售利润不能超过其进价的40%。设每支定价x元,每天的销售利润为y元。
(1)求每天的销售利润为y与每支定价x之间的函数关系式;
(2)如果要实现每天75元的销售利润,那么每支定价应为多少元?
(3)当每支定价为多少元时,可以使这种笔每天的销售利润最大?

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(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。

(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

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