【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,点E在AD上,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交BE的延长线于点F,点G在EF上,且∠EAG=∠CAF,连接CE.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:FG=CE;
(3)若EF平分∠AEC,则∠BAE与∠ABE满足的等量关系为 .
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)∠BAE+∠ABE=60°.
【解析】
(1)依题意补全图形即可;(2)由等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AFG,∠EAB=∠GAF,证明△EAB≌△GAF(ASA),得出BE=FG,证明△EAB≌△EAC(SAS),得出BE=CE,即可得出结论;(3)由(2)得∠CAE=∠BAE,△EAB≌△GAF,△EAB≌△EAC,由全等三角形的性质得出AE=AG,∠ABE=∠ACE,由等腰三角形的性质得出∠AEG=∠AGE,证出∠AEG=∠EAG=∠AGE,得出△AGE是等边三角形,由等边三角形的性质得出∠AEG=60°,由三角形的外角性质即可得出结论.
(1)解:依题意补全图形,如图所示:
(2)证明:由题意得:AB=AC=AF,
∴∠ABE=∠AFG,
∵∠EAC+∠CAG=∠EAG,∠CAG+∠GAF=∠CAF,∠EAG=∠CAF,
∴∠EAC=∠GAF,
∵AB=AC,AD为边BC上的中线,
∴∠EAC=∠EAB,
∴∠EAB=∠GAF,
在△EAB和△GAF中,,
∴△EAB≌△GAF(ASA),
∴BE=FG,
在△EAB和△EAC中,,
∴△EAB≌△EAC(SAS),
∴BE=CE,
∴FG=CE;
(3)解:由(2)得:∠CAE=∠BAE,△EAB≌△GAF,△EAB≌△EAC,
∴AE=AG,∠ABE=∠ACE,
∴∠AEG=∠AGE,
∵EF平分∠AEC,
∴∠AEG=∠CEG,
∴∠AGE=∠CEG,
∴AG∥CE,
∴∠GAC=∠ACE,
∴∠ABE=∠GAC,
∵∠AEG=∠ABE+∠BAE,∠EAG=∠EAC+∠GAC,
∴∠AEG=∠EAG=∠AGE,
∴△AGE是等边三角形,
∴∠AEG=60°,
∴∠BAE+∠ABE=60°,
故答案为:∠BAE+∠ABE=60°.
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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q是CD上一动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于N点,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;
②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值。其中一定成立的是_______.
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【题目】如图,已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第四象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在第四象限,且双曲线始终经过点C,则k的值为_____.
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【题目】某商场购进甲、乙两种空调共50台.已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元;用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍.请解答下列问题:
(1)求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元?
(2)若商场预计投入资金不少于10万元,且购进甲种空调至少31台,商场有哪几种购进方案?
(3)在(2)条件下,若甲种空调每台售价1100元,乙种空调每台售价4300元,甲、乙空调各有一台样机按八折出售,其余全部标价售出,商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利,其余利润恰好又可以购进以上空调共2台.请直接写出该商场购进这50台空调各几台.
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【题目】某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨,第一批蔬菜价格为2000元/吨,因蔬菜大量上市,第二批收购时价格变为500元/吨,这两批蔬菜共用去16万元.
(1)求两批次购蔬菜各购进多少吨?
(2)公司收购后对蔬菜进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润800元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,,…都是等边三角形,其边长依次为2,4,6,…,其中点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,…,按此规律排下去,则点的坐标为( )
A.B.C.D.
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【题目】阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
当均为正整数时,若,用含m、n的式子分别表示,得= ,= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: + =( + )2;
(3)若,且均为正整数,求的值.
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【题目】(阅读理解)
已知:如图,等腰直角三角形中,,是平分线,交边于点.
求证:.
证明:在上截取,连接,
则由已知条件易知:.
∴,
又∵,∴是等腰直角三角形,
∴ ∴.
(数学思考)
现将原题中的“是平分线,交边于点”换成“是的外角平分线,交边的延长线于点”,如图,其他条件不变,请你猜想线段之间的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=________.
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