Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，-3）．

（1）求抛物线解析式；

（2）点M是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线AC的上方，试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；

（3）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x-3；（2），M（，）；（3）（-1，-8）或（2，1）.

【解析】

试题分析：（1）代入A，C两点，列出方程，解得a，b即可；

（2）设M（a，-a2+4a-3），求出直线直线AC的解析式为：y=1-x，过M作x轴的垂线交AC于N，则N（a，1-a），即有三角形ACM的面积为△AMN和△CMN的面积之和，化简运用二次函数的最值，即可得到；

（3）讨论当∠ACP=90°，当∠CAP=90°，运用直线方程和抛物线方程求交点即可．

试题解析：（1）由于A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，-3），

则a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，

解得，a=-1，b=4，

即抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；

（2）设M（a，-a2+4a-3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意得：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=1-x，

过M作x轴的垂线交AC于N，

如图所示：则N（a，1-a），

即有三角形ACM的面积为△AMN与△CMN的面积之和，即为

（a-1+4-a）（-a2+4a-3-1+a）

=（-a2+5a-4），

当a=时，面积取得最大，且为，

此时M（，）；

（3）存在，理由如下：

当∠ACP=90°，即有此时CP：y=x-7，

由CP解析式和抛物线解析式得：，

解得：，或（不合题意舍去），

∴P（-1，-8）；

当∠CAP=90°，由AC的斜率为-1，即有AP的斜率为1，

此时AP：y=x-1，

由AP解析式和抛物线解析式得：，

解得：，或，（不合题意舍去），

∴P（2，1）．

故存在点P，且为（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形．