[题目]几何模型:条件:如图.A.B是直线l同旁的两个定点．问题:在直线l上确定一点P.使PA+PB的值最小．方法:作点A关于直线l的对称点A′.连结A′B交l于点P.则PA+PB=A′B的值最小．模型应用:(1)如图1.正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点.P是AC上一动点．连结BD.由正方形对称性可知.B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P.则PB+PE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】几何模型：

条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

【答案】（1）；（2）；

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，连接ED交AC于点P，此时PB+PE最小值是ED的长度，由勾股定理即可求出ED的长为；

（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，此时PA+PC的最小值为DC的长度，利用勾股定理即可求出DC的长度为；

（3）要求△PQR周长的最小值，即求PR+QR+PQ的最小值即可，作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，此时PR+QR+PQ最小，且PR+QR+PQ=CD，即求出CD的长即可．

试题解析：（1）由题意知：连接ED交AC于点P，

此时PB+PE最小，最小值为ED，

∵点E是AB的中点，

∴AE=1，

由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，

∴ED=，

∴PB+PE的最小值为；

（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，

∴AD=4，

∵∠AOC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC=OA=2，

∵AD是⊙O直径，

∴∠ACD=90°，

∴由勾股定理可求得：CD=，

∴PA+PC的最小值为；

（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，

连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，

此时PR+RQ+PQ最小，最小值为CD的长，

∵点P与点C关于OB对称，

∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，

同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，

∵∠BOP+∠POA=45°，

∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，

由勾股定理可知：CD=，

∴△PQR周长的最小值为．

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