Question

【题目】如图，在中，，点是上一点，且平分，点是上一点，以为直径的经过点．

求证：是的切线；

若的面积的面积，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OP，如图，由BP平分∠ABC得∠CBP=∠OBP，由OB=OP得∠OBP=∠OPB，则∠CBP=∠OPB，根据平行线的判定得OP∥BC，则利用平行线的性质得到∠APO=∠C=90°，于是可根据切线的判定定理得到结论；

（2）根据三角形面积公式由△ABP的面积-△BPC的面积=2可得BC（PA-1）=4，即BC=，再根据平行线分线段成比例定理可推出，则AB=PABC，接着利用勾股定理有AB2=AC2+BC2，所以PA2BC2=（AP+1）2+BC2，移项变形得到（AP+1）2=BC2（PA2-1），所以PA+1=BC2（PA-1），然后把BC=代入得到关于PA的方程，然后解方程即可.

证明：连结，如图，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线；

解：∵的面积的面积，，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

而，

∴，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．