Question

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；
（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x²-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x_D-x_B=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=

2

．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=

2

．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x轴于M．
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，
则

P1M

EM

=

OE

OF

=

1

3

，即EM=3P₁M．
∵EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁①
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C′上，
则有3（x₁²-2x₁-3）=x₁+1，
整理得，3x₁²-7x₁-10=0，解得，
x1=

10

3

，或x₂=-1（舍去）
把x1=

10

3

代入①中可解得，
y₁=

13

9

．
∴P₁（

10

3

，

13

9

）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，
得

FN

P2N

=

OE

OF

=

1

3

，即P₂N=3FN．
∵P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）②
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C′上，
则有x₂=3（3+x₂²-2x₂-3），
整理得3x₂²-7x₂=0，解得x₂=0（舍）或x2=

7

3

．
把x2=

7

3

代入②中可解得，
y2=-

20

9

．
∴P₂（

7

3

，-

20

9

）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（

10

3

，

13

9

）或（

7

3

，-

20

9

）．

点评：本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．