Question

9．如图，点D、E是腰长为5的等腰三角形ABC两腰的中点，P为底边BC上一点，则PD+PE的最小值为5．

Answer 1

分析 如图，作点D关于BC的对称点D′，连接ED′交BC于P，则ED′的长度即为PD+PE的最小值，连接DE，过A作AF⊥BC于F，通过作图得到DQ∥AF，根据三角形的中位线定理和等腰三角形的性质得到DE=$\frac{1}{2}$BC=PB，DQ=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$DD′，DE∥BC，通过△DD′E≌△ABP，即可得到结果．

解答 解：如图，作点D关于BC的对称点D′，连接ED′交BC于P，则ED′的长度即为PD+PE的最小值，
连接DE，过A作AF⊥BC于F，
∴DQ∥AF，
∵D、E是腰长为5的等腰三角形ABC两腰的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=PB，DQ=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$DD′，DE∥BC，
∴AF=DD′，∠EDD′=90°，
在△DD′E与△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DD′=AP}\\{∠D′DE=∠AFB}\\{DE=BP}\end{array}\right.$，
∴△DD′E≌△ABP，
∴ED′=AB=5，
∴PD+PE的最小值=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了轴对称-最短路程问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的画出图形是解题的关键．