Question

6．若方程2x²+5x-1=0的两根分别为x₁和x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，|x₁-x₂|的值．

Answer 1

分析 根据根与系数关系，求出x₁+x₂，x₁x₂，再利用完全平方公式进行恒等变形即可解决问题．

解答 解：∵方程2x²+5x-1=0的两根分别为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}$=5，
x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{25}{4}$+1=$\frac{29}{4}$
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}^{2}}_{2}+{{x}^{2}}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{29}{2}$
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查根与系数关系、完全平方公式，解题的关键是灵活应用公式进行恒等变形，属于中考常考题型．