(本题满分12分.任选一题作答．)Ⅰ.如图①.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C.D同时从点O出发.点C以1单位长/秒的速度向点A运动.点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒.0＜t＜5．(1)当0＜t＜52时.证明DC⊥OA,(2)若△OCD的面积为S.求S与t的函数关系式,(3)以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本题满分12分，任选一题作答．）
Ⅰ、如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）当0＜t＜

时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．
Ⅱ、（1）如图Ⅱ-1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图Ⅱ-2，已知l₁∥l₂，点E，F在l₁上，点G，H在l₂上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
（3）如图Ⅱ-3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．

分析：Ⅰ、（1）当0＜t＜

时，点C不过OA中点，想证明垂直应先作出一条和CD有关的垂线，利用相似求解；
（2）应分当0＜t＜

时，和

≤t＜5时两种情况探讨，应用t表示利用特殊的三角函数表示出OC边上的高．进而表示出面积即可．
（3）以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，那么应根据（1）（2）中的两种类型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE两种情况进行探讨；
Ⅱ、（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；
（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；
（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．

解答：Ⅰ

、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

=cos∠BOA=cos60°=

，
而

，
∴

，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）当0＜t＜

时，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×

t，
∴S=

×OC×CD=

×t×

t2；
当

≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

（5-t），
S=

×OC×HD=

×t×

（5-t）=

t²；

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

AC=

5-t

，
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

=5，
∴t=1，
因此AE=

5-t

=2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×

，
AM=AE×cos60°=2×

=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，

）；
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-

AB=

，
∴2t-5=

，
∴t=

，
因此AE=

5-t

，
∴E的纵坐标为

，
横坐标为5-

，
∴点E的坐标为（

，

）；
综上所述，点E的坐标为（4，

）或（

，

）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；

（2）证明：∵l₁∥l₂，
∴点E，F到l₂之间的距离都相等，设为h．
∴S_△EGH=

GH•h，S_△FGH=

GH•h，

∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面积等于△FHO的面积；

（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．

点评：Ⅰ、是一道旋转与运动相结合的大题，并且联系函数与四边形知识，要注意这些知识点间的融会贯通．
Ⅱ、主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．

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（本题满分12分）

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

1.（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

2.（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

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①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断