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【题目】如图,O为原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,连结CD,某抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D、点E(1,1).

(1)若该抛物线过原点O,则a=

(2)若点Q在抛物线上,且满足QOBBCD互余,要使得符合条件的Q点的个数是4个,则a的取值范围是

【答案】(1)(2)a<﹣或a>

【解析】

试题分析:(1)过点D作DFx轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c,根据待定系数法即可求得;

(2)若符合条件的Q点的个数是4个,则当a<0时,抛物线交于y轴的负半轴,当a>0时,抛物线与直线OQ:y=﹣x有两个交点,得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x,根据根与系数的关系得出不等式,解不等式即可求得.

解:(1)①过点D作DFx轴于点F,如图1,

∵∠DBF+ABO=90°BAO+ABO=90°

∴∠DBF=BAO

∵∠AOB=BFD=90°,AB=BD,

AOBBFD中,

∴△AOB≌△BFD(AAS)

DF=BO=1,BF=AO=2,

D的坐标是(3,1),

把D(3,1),E(1,1),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,

解得a=﹣

故答案为﹣

(2)如图2,D(3,1),E(1,1),

抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得,解得,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.

分两种情况:

①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时,若满足QOBBCD互余且符合条件的Q点的个数是4个,则点Q在x轴的上、下方各有两个.

(i)当点Q在x轴的下方时,直线OQ与抛物线有两个交点,满足条件的Q有2个;

(ii)当点Q在x轴的上方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上,与y轴的交点在y轴的负半轴,所以3a+1<0,解得a<﹣

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时,点Q在x轴的上、下方各有两个,

(i)当点Q在x轴的上方时,直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个;

(ii)当点Q在x轴的下方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q才两个.

根据(2)可知,要使得QOBBCD互余,则必须QOB=BAO

tanQOB=tanBAO==,此时直线OQ的斜率为﹣,则直线OQ的解析式为y=﹣x,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根,所以=(﹣4a+2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+>0,解得a>(a<舍去)

综上所示,a的取值范围为a<﹣或a>

故答案为a<﹣或a>

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