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【题目】已知:矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点,边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上,且OA=3cm,OC=4cm,点M从点A出发沿AB向终点B运动,点N从点C出发沿CA向终点A运动,点M、N同时出发,且运动的速度均为1cm/秒,当其中一个点到达终点时,另一点即停止运动.设运动的时间为t秒.

(1)当点N运动1秒时,求点N的坐标;(提示:过N作x轴y轴垂线,垂足分别为D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA)

(2)试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式;

(3)t为何值时,以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形?

【答案】(1)N的坐标为

(2)多边形OAMN的面积S=,(0≤t≤4).

(3)t的值为

【解析】试题分析:(1)过NNEy轴,作NFx轴,由CEN∽△COA,利用相似比求EN,再用勾股定理求CE,确定N点坐标;(2)将多边形OAMN分为ONAAMN,用t分别表示两个三角形的面积,再求和即可;(3)分为①直线ON为对称轴,②直线OA为对称轴,③直线AN为对称轴,画出图形,根据菱形的特殊性,列方程求解.

试题解析:(1)t=1CN=1,AM=1

NNEy轴,作NFx

NNEy轴,NFx轴,

∴△CEN∽△COA,

,即

EN=

由勾股定理得:

(2)由(1)得

N点坐标为

∵多边形OAMNONAAMN组成

∴多边形OAMN的面积S=(0≤t≤4).

(3)①直线ON为对称轴时,翻折OAN得到OA′N,此时组成的四边形为OANA′,

AN=A′N=A′O=OA,四边形OANA’是菱形.

AN=OA,5-t=3t=2.

②直线OA为对称轴时,翻折OAN得到OAN′,

此时组成的四边形为ONAN′,连接NN′,交OA于点G.

NN′OA互相垂直平分时,四边形ONAN′是菱形.

OANN′,OG=AG=

NGCO,∴点NAC的中点,

CN=

③直线AN为对称轴时,翻折OAN得到O′AN,

此时组成的四边形为ONO′A,连接OO’,交AN于点H.

OO′AN互相垂直平分时,四边形ONO’A是菱形.

OHAC,AH=NH=

由面积法可求得OH=

RtOAH中,由勾股定理得,AH=

综上所述,t的值为

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