Question

8．如图，已知一次函数y=k₁x+b的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于 A，B 两点，且与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于 C，E 两点，点 C 在第二象限，过点 C 作CD⊥x轴于点 D，AC=2$\sqrt{2}$，OA=OB=1．
（1）△ADC 的面积；
（2）求反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$与一次函数的y=k₁x+b表达式．

Answer 1

分析 （1）求出AD=CD，解直角三角形求出AD、CD，根据三角形的面积公式求出即可；
（2）把C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k₂，把B、C的坐标代入一次函数的解析式，即可求出b和k₁．

解答 解：（1）∵OA=OB，
∠ABO=∠OAB=45°，
∵CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACD=45°，
∴CD=AD，
∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，
∴△ADC 的面积为$\frac{1}{2}×AD×CD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2；

（2）∵OA=1，AD=2，
∴OD=1，
∵CD=2，
∴C的坐标为（-1，2），
∵点C在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴2=$\frac{{k}_{2}}{-1}$，
∴k₂=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{2}{x}$；
∵一次函数y=k₁x+b过B（0，1），C（-1，2），
∴代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-{k}_{1}+b=2}\end{array}\right.$，
解得：b=1，k₁=-1，
∴一次函数的表达式为y=-x+1．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式等知识点，能正确用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键，注意数形结合思想的运用．