Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，D在OC的延长线上，∠B=∠D=30°，
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）已知AC=4，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OA，
∵∠B=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠DAO=180°-∠D-∠O=90°，
即：OA⊥DA，
又∵A点在圆上，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：∵OA=OC，∠O=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=4，
又∵∠D=30°，
∴OD=2•OA=8，
在Rt△AOD中，AD===4．
分析：（1）首先连接OA，由∠B=∠D=30°，根据圆周角定理，可求得∠O=60°，继而可得∠OAD=90°，则可证得AD为⊙O的切线；
（2）易得△AOC为等边三角形，则可求得OA=4，然后由含30°角的直角三角形的性质，求得OD的长，继而由勾股定理求得AD的长．
点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．