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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:
①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=
其中正确的结论有( )

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

【答案】B
【解析】解:过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,

∵AE= AD= BC,

∴CF=2AF,故②正确,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE= BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DF=DC,故③正确;
设AD=a,AB=b由△BAE∽△ADC,有
∵tan∠CAD= =
故④错误,
故选B.

①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确;②由AE= AD= BC,又AD∥BC,所以 ,故②正确;③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE= BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确;④CD与AD的大小不知道,于是tan∠CAD的值无法判断,故④错误.

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④设用x张制盒身,y张制盒底,可得方程组;其中正确的是( )

A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③

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