Question

【题目】如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为其顶点，对称轴l与x轴交于点D，抛物线上C、E两点关于对称轴l对称．

求抛物线的函数表达式；

点G是线段OC上一动点，是否存在这样的点G，使与相似，若存在，请求出点G坐标，若不存在请说明理由．

平移抛物线，其顶点P在直线上运动，移动后的抛物线与直线的另一交点为M，与原对称轴l交于点Q，当是以PM为直角边的直角三角形时，请写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）G坐标为或，见解析；（3）Q的坐标为或．

【解析】

用两点式表示函数的表达式，即可求解；

利用与相似，则，或，即可求解；

设图象向左平移m个单位，则沿，相当于向下同时平移了m个单位，则平移后点、点、，即可求解．

解：用两点式表示函数的表达式为：，

令，则，函数对称轴为，则点P坐标为，点E的坐标；

如图2，设，则，

与相似，则，或，

其中，，，则，

将上述数值代入比例关系得：或2，

即点G坐标为或；

设图象向左平移m个单位，则沿，相当于向下同时平移了m个单位，

则平移后点P坐标，

平移后抛物线的表达式为：，

当时，，即点，

直线表达式为，

联立并求解得：，

直线PM表达式中的k值为：，

同理直线PQ表达式中的k值为：，

同理直线PM表达式中的k值为：，

当时，

，解得：，

当时，

同理可得：，

故点Q的坐标为或．