Question

14．抛物线C₁：y=x²-1（-1≤x≤1）与x轴交于A、B两点，抛物线C₂与抛物线C₁关于点A中心对称，抛物线C₃与抛物线C₁关于点B中心对称．若直线y=-x+b与由C₁、C₂、C₃组成的图形恰好有2个公共点，则b的取值或取值范围是b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$或3≤b＜$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 根据对称性先求抛物线C₂与抛物线C₃的解析式，再分两种情况：
①在y轴右侧时，从直线y=-x+b与C₃相切时到直线过点D时，这些b值符合条件，计算出来即可；
②在y轴的左侧，当y=-x+b与C₁相切时和y=-x+b与C₂相切时，都与C₂有C₁、C₂、C₃组成的图形恰好有2个公共点，分别计算出b的值．

解答 解：抛物线C₁：y=x²-1（-1≤x≤1），顶点E（0，-1），
当y=0时，x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0），
当抛物线C₂与抛物线C₁关于点A中心对称，
∴顶点E关于点A的对称点E′（-2，1），
∴抛物线C₂的解析式为：y=-（x+2）²+1=-x²-4x-3，
当抛物线C₃与抛物线C₁关于点B中心对称，
∴顶点E关于点B的对称点E′′（2，1），
∴抛物线C₃的解析式为：y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，
①当y=-x+b过D（3，0）时，b=3，
当y=-x+b与C₃相切时，即与C₃有一个公共点，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
-x²+4x-3=-x+b，
x²-5x+b+3=0，
△=25-4（b+3）=0，
b=$\frac{13}{4}$，
∴当3≤b＜$\frac{13}{4}$时，直线y=-x+b与由C₁、C₂、C₃组成的图形恰好有2个公共点，
②当y=-x+b与C₁相切时，即与C₁有一个公共点，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
x²-1=-x+b，
x²+x-1-b=0，
△=1-4（-1-b）=0，
b=-$\frac{5}{4}$，
当y=-x+b与C₂相切时，即与C₂有一个公共点，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$，
-x²-4x-3=-x+b，
-x²-3x-3-b=0，
△=9-4×（-1）×（-3-b）=0，
b=-$\frac{3}{4}$，
∴当b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$时，直线y=-x+b与由C₁、C₂、C₃组成的图形恰好有2个公共点，
综上所述：当b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$或3≤b＜$\frac{13}{4}$时，直线y=-x+b与由C₁、C₂、C₃组成的图形恰好有2个公共点．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点和抛物线关于某点中心对称的问题，有难度，容易漏解，要采用数形结合的思想解决此问题，在计算抛物线C₂与抛物线C₃的解析式时，利用顶点坐标的对称关系和开口大小来解决．