Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．

（1）求AC的长；

（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；

（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）AC=5；（2）；（3）或．

【解析】

（1）过A作AG⊥BC于点G，由，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；

（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；

（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．

解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：

在Rt△ABG中，AB=5，，

∴BG=4，

∴AG=3，

∴，

∴点G是BC的中点，

在Rt△ACG中，；

（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：

∴CE=CF=4，

∵AB=AC=5，

∴∠B=∠ACB，

∴，

∴CH=3.2，

在Rt△CFH中，由勾股定理，得

FH=2.4，

∴EH=0.8，

在Rt△EFH中，由勾股定理，得

；

（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：

①当圆C与AD相离时，则CE<AE，

∴半径CE的取值范围是：；

②当CE>CA时，点E在线段BC上，

∴半径CE的取值范围是：；

综合上述，半径CE的取值范围是：或．